Question

8．已知$\overrightarrow{p}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{q}$=cosx，-2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的結合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結合最小值求出a的值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-a=2cos²x-2sinxcosx-a=1+cos2x-sin2x-a=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1-a．（2分）
則f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．（3分）
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，解得-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{5π}{8}$+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．（5分）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，則-1≤cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（7分）
∵f（x）的最小值是-2，
∴當cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-1時，函數(shù)取得最小值，
此時-$\sqrt{2}$+1-a=-2，則a=3-$\sqrt{2}$，
當cos（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)取得最大值，
此時最大值為f（x）=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1-（3-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積和三角函數(shù)的綜合應用，利用輔助角公式以及向量數(shù)量積的坐標是進行化簡是解決本題的關鍵．