Question

如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

 

 

Answer 1

證明：（1）見解析；（2）二面角的平面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：證明：（1）注意做輔助線，連結(jié)和交于，連結(jié)，

根據(jù)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得到

， 即證得平面；

（2）應(yīng)用已知條件，研究得到，

平面，，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，通過

以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

應(yīng)用“向量法”解題；

解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.

試題解析：證明：（1）連結(jié)和交于，連結(jié)， 1分

為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

， 3分

平面，平面

平面． 4分

（2）平面，平面，，

為正方形，，

平面，

平面，

平面， 6分

以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，，，

平面，平面，

，

為正方形，，

由為正方形可得：，

設(shè)平面的法向量為

，

由，令，則

8分

設(shè)平面的法向量為，

，

由 ，令，則，

10分

設(shè)二面角的平面角的大小為，則

二面角的平面角的余弦值為 12分

考點(diǎn)：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義及計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.