Question

16．若雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線C上一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0的點(diǎn)P依次記為P₁、P₂、P₃、P₄，則四邊形P₁P₂P₃P₄的面積為（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{6}}{5}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得P的軌跡方程，聯(lián)立雙曲線的方程，求出交點(diǎn)，可得它們構(gòu)成矩形，求出長(zhǎng)和寬，即可得到所求面積．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0），
滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0的點(diǎn)P，
設(shè)P（x，y），則（-$\sqrt{5}$-x，-y）•（$\sqrt{5}$-x，-y）=x²-5+y²=0，
即有圓x²+y²=5，
聯(lián)立雙曲線的方程雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
可得交點(diǎn)分別為P₁（$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），P₂（-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
P₃（-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），P₄（$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
它們構(gòu)成一個(gè)矩形，長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{30}}{5}$，寬為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
面積為$\frac{4\sqrt{30}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{6}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程的運(yùn)用，考查解方程的能力，以及四邊形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．