Question

13．某企業(yè)為了對生產(chǎn)的一種新產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到以下數(shù)據(jù)：

單價x（元/件）	60	62	64	66	68	70
銷量y（件）	91	84	81	75	70	67

（Ⅰ）畫出散點圖，并求y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅱ）已知該產(chǎn)品的成本是36元/件，預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（Ⅰ）中的關(guān)系，為使企業(yè)獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元（精確到元）？
附：回歸直線$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}$x的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點圖，計算平均數(shù)，求出回歸系數(shù)，即可求得回歸直線方程；
（II）利用利潤=銷售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求企業(yè)獲得的利潤最大．

解答 解：（ I）散點圖如圖        …（2分）
由圖得銷量y與單價x線性相關(guān)$\overline x=\frac{60+62+64+66+68+70}{6}=65$…（3分）
$\overline y=\frac{91+84+81+75+70+67}{6}=78$…（4分）$\hat b=\frac{-5×13-3×6-1×3-3×8-7×11}{{2（{5^2}+{3^2}+1）}}=-\frac{12}{5}$，…（6分）$\hat a=78+\frac{12}{5}×65=234$，
∴回歸直線方程為$\hat y=-\frac{12}{5}x+234$…（8分）
（ II）利潤$Q=（-\frac{12}{5}x+234）（x-36）=-\frac{12}{5}（x-\frac{585}{6}）（x-36）$…（10分）
當$x=\frac{{\frac{585}{6}+36}}{2}$時，利潤最大，這時x≈67
故定價約為67元時，企業(yè)獲得最大利潤．…（12分）

點評 本題主要考查統(tǒng)計部分的基本知識．考查數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、運算求解能力以及應(yīng)用意識．