Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₂（1，0），點H（2，$\frac{2\sqrt{10}}{3}$）在橢圓上
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）第一象限內(nèi)一點M在圓C：x²+y²=b²上，過M作圓C的切線交橢圓于P，Q兩點．問：△PF₂Q的周長是否為定值，若是，求出定值，不是的話說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓的定義及兩點之間的距離公式求得a的值，則b²=a²-c²=8，即可求得橢圓方程
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得丨PQ丨，丨PF₂丨，丨QF₂丨，利用三角形的周長公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的左焦點F₁（-1，0），H在橢圓上，
丨HF₁丨+丨HF₂丨=2a，即$\sqrt{{3}^{2}+\frac{40}{9}}$+$\sqrt{1+\frac{40}{9}}$=6，
則a=3，c=1，b²=a²-c²=8，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（Ⅰ）設PQ方程，y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則PQ與C相切，
$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，m=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
x₁+x₂=-$\frac{18km}{8+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}$，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4×9×8（4{k}^{2}-{m}^{2}+8）}{（8+9{k}^{2}）^{2}}}$=-$\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$，
丨PF₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-9）^{2}}{9}}$=3-$\frac{1}{3}$x₁，
同理：丨QF₂丨=3-$\frac{1}{3}$x₂，
∴△PF₂Q的周長S=丨PQ丨+丨PF₂丨+丨QF₂丨=6-$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）-$\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$=6，
∴△PF₂Q的周長6．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．