Question

3．已知在△ABC所在平面內(nèi)有兩點P、Q，滿足$\stackrel{→}{PA}$+$\stackrel{→}{PC}$=0，$\stackrel{→}{QA}$+$\stackrel{→}{QB}$+$\stackrel{→}{QC}$=$\stackrel{→}{BC}$，若|$\stackrel{→}{AB}$|=4，|$\stackrel{→}{AC}$|=2，S_△APQ=$\frac{2}{3}$，則$\stackrel{→}{AB}$•$\stackrel{→}{AC}$的值為（　�。�

• A． 4
• B． ±4
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． ±4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$及$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{BC}$即可得出點P為AC中點，點Q為靠近點B的AB的三等分點，從而可求出$|\overrightarrow{AQ}|=\frac{8}{3}，|\overrightarrow{AP}|=1$．然后根據(jù)${S}_{△APQ}=\frac{2}{3}$即可求出cosA=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴P為AC中點；
由$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{BC}$得，$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{QC}-\overrightarrow{QB}$；
∴$\overrightarrow{QA}=-2\overrightarrow{QB}$；
∴Q為靠近B的AB的三等分點，如圖所示：

$|\overrightarrow{AQ}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|=\frac{8}{3}$，$|\overrightarrow{AP}|=1$；
∴${S}_{APQ}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AQ}||\overrightarrow{AP}|sinA$
=$\frac{1}{2}•\frac{8}{3}sinA$
=$\frac{2}{3}$；
∴$sinA=\frac{1}{2}$；
∴$cosA=±\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA$
=$4×2×（±\frac{\sqrt{3}}{2}）$
=$±4\sqrt{3}$．
故選D．

點評 考查向量減法及數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，三角形的面積公式，向量數(shù)量積的計算公式．