Question

13．設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圓面積與內(nèi)切圓面積的比值為（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 （a+b+c）（b+c-a）=3bc，（b+c）²-a²=3bc，化為：b²+c²-a²=bc．再利用余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理與余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等邊三角形．即可得出．

解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，∴（b+c）²-a²=3bc，化為：b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化為：b=c．
∴△ABC是等邊三角形．
那么△ABC的外接圓面積與內(nèi)切圓面積的比值=$\frac{π×{2}^{2}}{π×{1}^{2}}$=4．
故選：A．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．