Question

16．設(shè)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）$g（0）=1，g（1）=\frac{5}{2}，g（-1）=\frac{1}{2}$．
（i）求g（x）的表達(dá)式；
（ii）令h（x）=f（x）-g（x），證明：函數(shù)h（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅱ）求證：$（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）（i）解方程組$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=\frac{5}{2}\\ a-b+c=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.$．即可得出g（x）
（ii）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得出h（x）有一個(gè)零點(diǎn)0，再運(yùn)用反證法假設(shè)h（x）不只一個(gè)零點(diǎn)，推出矛盾，即可判斷函數(shù)h（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
（II）運(yùn)用函數(shù)得出ln（x+1）≤x，$ln（\frac{1}{3}+1）＜\frac{1}{3}$，$ln（\frac{1}{3^2}+1）＜\frac{1}{3^2}$，$ln（\frac{1}{3^3}+1）＜\frac{1}{3^3}$，…，$ln（\frac{1}{3^n}+1）＜\frac{1}{3^n}$．
放縮得出等比數(shù)列求和得出$ln（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\frac{1}{2}$，
根據(jù)對(duì)數(shù)的概念化簡放縮即可．

解答 解：（ I）（ i）∵$g（x）=a{x^2}+bx+c，g（0）=1，\;g（1）=\frac{5}{2}，\;g（-1）=\frac{1}{2}$
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=\frac{5}{2}\\ a-b+c=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.$．                             
∴g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+1                                        
（ ii）由（ i）知$h（x）=f（x）-g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x-1$，
所以h'（x）=e^x-x-1．…（5分）
設(shè)l（x）=e^x-x-1，則l'（x）=e^x-1．令l'（x）=0可得x=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，l'（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，l'（x）＞0．
所以l（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以x=0時(shí)，l（x）有極小值l（0），也就是最小值為0，
所以l（x）≥0
所以h'（x）≥0，故h（x）是R上的增函數(shù)．
又h（0）=0，所以h（x）有一個(gè)零點(diǎn)0，
假設(shè)h（x）不只一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂且x₁＜x₂．
則h（x₁）=0，h（x₂）=0，從而h（x₁）=h（x₂），
又h（x）是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，所以h（x₁）＜h（x₂）
這與h（x₁）=h（x₂）相矛盾，所以假設(shè)不成立，
所以h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)0，
（ II）證明：由（ I）得e^x≥x+1，當(dāng)x＞-1時(shí)，有l(wèi)n（x+1）≤x，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
因此$ln（\frac{1}{3}+1）＜\frac{1}{3}$，$ln（\frac{1}{3^2}+1）＜\frac{1}{3^2}$，$ln（\frac{1}{3^3}+1）＜\frac{1}{3^3}$，…，$ln（\frac{1}{3^n}+1）＜\frac{1}{3^n}$．
$\begin{array}{l}∴l(xiāng)n（\frac{1}{3}+1）+ln（\frac{1}{3^2}+1）+…+ln（\frac{1}{3^n}+1）\end{array}$$\begin{array}{l}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}\end{array}$=$\frac{{\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{3^n}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）＜\frac{1}{2}$                 
∴$ln（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\frac{1}{2}$，
∴（1$+\frac{1}{3}$）（1$+\frac{1}{{3}^{2}}$）（1$+\frac{1}{\;}{3}^{3}$）…（1$+\frac{1}{{3}^{n}}$）$＜{e}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{e}$=$\sqrt{3}$
故：$（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)性質(zhì)，不等式，放縮法的運(yùn)用，融合入了等比數(shù)列的運(yùn)用，知識(shí)綜合較多，難度較大，關(guān)鍵是利用好ln（x+1）≤x，轉(zhuǎn)為等比數(shù)列．