Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）≥|x+a|的解集包含[-2，-1]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）＞1的解集．
（2）由題意可得，當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，總有|x+a|≤|x-3|-|x+1|=4，故有-a-4≤x≤-a+4，可得$\left\{\begin{array}{l}-a-4≤-2\\-a+4≥-1\end{array}\right.$，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
而$\frac{1}{2}$到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，故不等式f（x）＞1的解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$}．
（2）由題意可得，當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，總有|x+a|≤|x-3|-|x+1|=3-x+x+1=4，
∴-a-4≤x≤-a+4，可得$\left\{\begin{array}{l}-a-4≤-2\\-a+4≥-1\end{array}\right.$，即-2≤a≤5，
故所求a的范圍是[-2，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．