Question

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面α的同側(cè)，所在平面不與α平行，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分別為△ABC和△A′B′C′的重心．
（1）求證：GG′⊥α；
（2）若AA′=a，BB′=b，CC′=c，求GG′的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AC的中點(diǎn)D，A'C'的中點(diǎn)為D'，連接DD'，由重心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，即可得證；
（2）運(yùn)用梯形的中位線定理，以及三等分點(diǎn)公式，即可得到GG'．

解答： （1）證明：取AC的中點(diǎn)D，A'C'的中點(diǎn)為D'，
連接DD'，則DD'∥BB'，
由于G，G'分別為重心，則

BG

GD

=

B′G′

G′D′

=2，
則GG'∥BB'，
由于BB′⊥α，則GG′⊥α；
（2）解：由于AA′=a，BB′=b，CC′=c，
則DD'=

a+c

2

，
即有GG'=

b+2× a+c 2

1+2

=

a+b+c

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直的性質(zhì)定理，考查點(diǎn)到平面的距離，考查三角形的重心的性質(zhì)，屬于中檔題．