Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）證明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、OA₁所在直線分別為x、y、z軸建系，通過$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{BC}$=0及線面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）所求值即為平面A₁BD的法向量與平面B₁BD的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值的相反數(shù)，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、OA₁所在直線分別為x、y、z軸建系．
則BC=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，A₁O=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
易知A₁（0，0，$\sqrt{14}$），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
A（0，$\sqrt{2}$，0），D（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），B₁（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{14}$），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=0，∴A₁D⊥OA₁，
又∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{BC}$=0，∴A₁D⊥BC，
又∵OA₁∩BC=O，∴A₁D⊥平面A₁BC；
（2）解：設(shè)平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{7}$，0，1），
設(shè)平面B₁BD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\\{-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{7}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{8}$，
又∵該二面角為鈍角，
∴二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值為-$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中線面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．