Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若f（x）≥0對(duì)任意x≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接對(duì)f（x）求導(dǎo)，當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=e^x-a的正負(fù)即可確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)F（x）=f（x）-xlnx進(jìn)行化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

ex-1

x

-lnx（x＞0），研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和最小值，即可確定F（x）=f（x）-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)；
（Ⅲ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性，然后討論a的取值，從而確定f（x）的最值，即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax-1，則f′（x）=e^x-a．
由f′（x）＞0，得x＞lna；由f′（x）＜0，得x＜lna，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
由F（x）=0，得a=

ex-1

x

-lnx（x＞0）
令h（x）=

ex-1

x

-lnx（x＞0），則h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，
由于x＞0，e^x-1＞0，可知當(dāng)x＞1，h′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）≥h（1）=e-1．
又由（Ⅰ）知當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即ex-1＞x?

ex-1

x

＞1，
當(dāng)a＞e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
當(dāng)a=e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）沒(méi)有零點(diǎn)．
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-1，則f′（x）=e^x-a．
①當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)?x≥0，有f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（0）=0，即f（x）≥f（0）=0對(duì)?x≥0恒成立．
②當(dāng)a＞1時(shí)，由（Ⅰ），f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna），
若f（x）≥0對(duì)任意x≥0恒成立，只需f（x）_min=f（lna）=a-alna-1≥0，
令g（a）=a-alna-1（a＞1），g′（a）=1-lna-1=-lna＜0，
即g（a）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，又g（1）=0，故g（a）＜0在（1，+∞）上恒成立，
故當(dāng)a＞1時(shí)，滿足a-alna-1≥0的a不存在．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題的解決方法，屬于難題．