Question

7．已知函數f（x）=lnx+a（x-1）²，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=e處的切線斜率為1，求a；
（2）若a＞0，g（x）=f（x）-x+1，求g（x）在區(qū)間[1，2]的最小值；
（3）令h（x）=f（x）-ax²，對y=h（x）上任意不同的兩點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）直線AB的斜率為k，若x₁+x₂+k＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得導數，求出切線的斜率，解方程可得a：
（2）化簡g（x），求得導數，討論當a≥$\frac{1}{2}$時，當0＜a≤$\frac{1}{4}$時，當$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$時，由單調區(qū)間，即可得到最小值；
（3）運用斜率公式，化簡整理，即有m（x）=lnx+x²-a（2x-1）在（0，+∞）上遞增，運用導數判斷單調性，結合恒成立思想，計算即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=lnx+a（x-1）²的導數為f′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x-1），
f（x）在x=e處的切線斜率為1，即有$\frac{1}{e}$+2a（e-1）=1，
解得a=$\frac{1}{2e}$；
（2）g（x）=f（x）-x+1=lnx+a（x-1）²-x+1，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x-1）-1=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$，
當a≥$\frac{1}{2}$時，在[1，2]上g′（x）＞0，g（x）遞增，
即有x=1處取得最小值，且為0；
當0＜a≤$\frac{1}{4}$時，在[1，2]上g′（x）＜0，g（x）遞減，
即有x=2處取得最小值，且為ln2+a-1；
當$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$時，g（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）遞減，在（$\frac{1}{2a}$，2）遞增，
即有x=$\frac{1}{2a}$處取得最小值，且為-ln（2a）+a（$\frac{1}{2a}$-1）²-$\frac{1}{2a}$+1；
（3）h（x）=f（x）-ax²=lnx-a（2x-1），
x₁+x₂+k＞0恒成立，
即為x₁+x₂+$\frac{ln{x}_{1}-a（2{x}_{1}-1）-ln{x}_{2}+a（2{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
即有$\frac{ln{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}-a（2{x}_{1}-1）-ln{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}+a（2{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即為m（x）=lnx+x²-a（2x-1）在（0，+∞）上遞增，
即有m′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a≥0恒成立，
即為2a≤2x+$\frac{1}{x}$的最小值，
由2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$（當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，等號成立），
則2a≤2$\sqrt{2}$，
解得a≤$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用單調性的定義和構造函數的方法，屬于中檔題．