Question

將拋物線C：x²=-4y上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="7f28seb" class="MathJye">

1

2

，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）直線l過點(diǎn)（3，0），若曲線C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線C：x²=-4y上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="yoghbe2" class="MathJye">

1

2

，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而可求曲線M的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法，根據(jù)P在拋物線含焦點(diǎn)的弓形內(nèi)部，可得不等式，從而得解．

解答：解：（1）設(shè)曲線M上任意一點(diǎn)P（x，y），則P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-4×

y

3

即x2=-

y

3

為曲線M的方程---------------------------------------------------------------（2分）
（2）設(shè)l：y=k（x-3）顯然k存在，且k≠0
拋物線C上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P（x₀，y₀）

x 2 1 =-4y1 x 2 2 =-4y2

兩式相減得-

1

k

=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

-4

=-

x0

2

------------------------2
∴

x0= 2 k y0=k(x0-3)=2-3k

------------------------------------------------------------------2
因?yàn)镻在拋物線含焦點(diǎn)的弓形內(nèi)部∴y0＜-

x 2 0

4

----------------------------------------------------------3
∴3k³-2k²-1＞0⇒（k-1）（3k²+k+1）＞0∴k＞1--------------------------------------------------1

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓錐曲線的軌跡問題，主要考查求曲線的方程，考查點(diǎn)差法，關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn)之間坐標(biāo)關(guān)系，利用弦中點(diǎn)條件化簡(jiǎn)．