Question

將拋物線C：x²=12y上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span mathtag="math" >

1

2

，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線M
（1）求曲線M的方程
（2）若曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點，求直線l的方程．

Answer 1

（1）設(shè)曲線M上任意一點P（x，y），則 P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-12×

y

3

即 x²=-y為曲線M的方程，
（2）若過A（1，0）的直線l平行于拋物線的對稱軸時，曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點，
此時直線l的方程為：x=1；
若過A（1，0）的直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2=-y

得：x²+kx-k=0，
若曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點，
則△=k²+4k=0，?k=0或k=-4，
∴直線l的方程：y=0或y=-4x+4．
綜上所述，故曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個公共點時，直線l的方程為：x=0或y=0或y=-4x+4．