Question

將拋物線C：x²=-4y上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224701183029407/SYS201311012247011830294018_ST/0.png">，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）直線l過點（3，0），若曲線C上存在兩點關于直線l對稱，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線C：x²=-4y上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224701183029407/SYS201311012247011830294018_DA/0.png">，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到動點坐標之間的關系，從而可求曲線M的方程；
（2）設點，利用點差法，根據P在拋物線含焦點的弓形內部，可得不等式，從而得解．
解答：解：（1）設曲線M上任意一點P（x，y），則在C上，
∴
即為曲線M的方程---------------------------------------------------------------（2分）
（2）設l：y=k（x-3）顯然k存在，且k≠0
拋物線C上關于l對稱的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x，y）
兩式相減得------------------------2
∴------------------------------------------------------------------2
因為P在拋物線含焦點的弓形內部∴----------------------------------------------------------3
∴3k³-2k²-1＞0⇒（k-1）（3k²+k+1）＞0∴k＞1--------------------------------------------------1
點評：本題的考點是圓錐曲線的軌跡問題，主要考查求曲線的方程，考查點差法，關鍵是尋找動點之間坐標關系，利用弦中點條件化簡．