Question

不等式

1

x

+

1

y

-

λ

x+y

≥0對x，y∈R⁺恒成立，則λ的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0]
• B、（-∞，1）
• C、（-∞，4]
• D、（4，+∞）

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：問題可轉(zhuǎn)化為只需λ≤（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值即可，變形由基本不等式可求（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值．

解答： 解：∵

1

x

+

1

y

-

λ

x+y

≥0對x，y∈R⁺恒成立，
∴λ≤（x+y）（

1

x

+

1

y

）對x，y∈R⁺恒成立，
∴只需λ≤（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值即可，
由基本不等式可得（x+y）（

1

x

+

1

y

）=2+

y

x

+

x

y

≥2+2

y x • x y

=4
當且僅當

y

x

=

x

y

即x=y時取等號，
∴（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值為4，
∴λ的取值范圍是λ≤4
故選：C

點評：本題考查恒成立問題，變形并由基本不等式求出式子的最小值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．