Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，若a₂=a+2（a為常數(shù)），且S_n是na_n與na的等差中項．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想出a_n的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推式，代入計算可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，猜想a_n的表達式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）由已知得${S_n}=\frac{{n{a_n}+na}}{2}=\frac{{{a_n}+a}}{2}•n$，
當n=1時，${a_1}={S_1}=\frac{{{a_1}+a}}{2}$，則a₁=a，${S_3}={a_1}+{a_2}+{a_3}=\frac{{{a_3}+a}}{2}•3$，而a₂=a+2，
于是可解得a₃=a+4；同理可解得a₄=a+6．
（2）由（1）中的a₁=a，a₂=a+2，a₃=a+4，a₄=a+6，…，
猜測出a_n=a+2（n-1）．
數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當n=1時，a₁=a=a+2（1-1），猜想成立；
當n=2時，a₂=a+2=a+2（2-1），猜想也成立．
②假設(shè)當n=k（k∈N^*，k≥2）時猜想成立，即a_k=a+2（k-1），
則當n=k+1時，${a_{k+1}}={S_{k+1}}-{S_k}=\frac{{{a_{k+1}}+a}}{2}•（k+1）-$$\frac{{{a_k}+a}}{2}•k$，
即（k-1）a_k+1=ka_k-a，
由k≥2可得${a_{k+1}}=\frac{{k{a_k}-a}}{k-1}=\frac{ka+2k（k-1）-a}{k-1}$，
即a_k+1=a+2k=a+2[（k+1）-1]，
也就是說，當n=k+1時猜想也成立．
由①、②可知對任意的n∈N^*，a_n=a+2（n-1）都成立．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．