Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，3]上不存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=2代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）在[1，3]上不存在單調(diào)遞增區(qū)間，必有g(shù)（x）≤0，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=lnx+x²-4x+4，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-4=$\frac{{2x}^{2}-4x+1}{\;}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$或x＜$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）遞增，在（$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）遞減，在（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）遞增；
（2）f′（x）=$\frac{1}{2}$+2x-2a=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈[1，3]，
設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，
假設(shè)函數(shù)f（x）在[1，3]上不存在單調(diào)遞增區(qū)間，
必有g(shù)（x）≤0，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=3-2a≤0}\\{g（3）=19-6a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{19}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查曲線的切線方程以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．