Question

7．若函數(shù)f（x）=sinⁿxsinnx+cosⁿxcosnx-cosⁿ2x，對(duì)任意x∈R都使f（x）為常數(shù)，則正整數(shù)n為3．

Answer 1

分析 分別令x=0，x=$\frac{π}{2}$，x=π，代入方程，從而求出n的值即可．

解答 解：令x=0，則f（x）=0+1-1=0，
令x=$\frac{π}{2}$，則f（x）=sin（$\frac{nπ}{2}$）+0-（-1）ⁿ=0，
令x=π，則f（x）=0+（-1）^n•cosnπ-1=0，
所以：n=3，
下面證明n=3時(shí)，滿足題意，
原式=sin³xsin3x+cos³xcos3x-cos³2x
=sin³xsin（x+2x）+cos³xcos（x+2x）-cos³2x
=cos2x（sin⁴x+cos⁴x）+2sin²xcos²x（sin²x-cos²x）-cos³2x
=cos2x[sin⁴x+cos⁴x-2sin²xcos²x-（2cos²x-1）²]
=cos2x[sin⁴x-cos⁴x+2cos²x-1]
=cos2x[sin⁴x-（-sin²x）²]
=0，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理問(wèn)題，考查三角函數(shù)求值問(wèn)題，是一道中檔題．