Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x-3在x=-1時取得極值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出f′（x），利用x=-1時取得極值，則f′（-1）=0，得到關(guān)于a的方程求出a；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得到x=-1或者x=

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，列表求出f（x）在[-2，1]上的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax-1．
∵f（x）在x=-1時取得極值，所以f′（-1）=0，
即3-2a-1=0解得a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時，f（x）在x=-1時取得極小值．
∴f（x）=x³+x²-x-3．                                  
（II）f′（x）=3x²+2x-1，
令f′（x）=0，解得x=-1或x=

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； 
x∈[-2，1]時，f′（x）和f（x） 變化如下：

由上表可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值為-2．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題．