已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（1，
2
2
），離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)．
①當(dāng)直線OA，OB的斜率之和為
4
3
時(shí)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k；
②求
MA
•
MB
的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，以及點(diǎn)在橢圓上，列出方程，解出a，b，c，得到橢圓方程；
（Ⅱ）①設(shè)直線l：y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，消去y得，（1+2k2）x2+8kx+6=0，由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理
再由直線OA，OB的斜率之和為
4
3
，即可求出k；
②當(dāng)直線l的斜率不存在，直線l：x=0，求出A，B的坐標(biāo)，求得
MA
•
MB
=3；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（Ⅱ）①得，求出
MA
•
MB
，化簡(jiǎn)得到3+
3
2
k2+
1
2
，再由判別式大于0，即可得到范圍．
解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，e=
c
a
=
2
2
，a2=b2+c2，解得a2=2c2，b2=c2，
設(shè)橢圓E：
x2
2c2
+
y2
c2
=1，由于橢圓過(guò)點(diǎn)P（1，
2
2
），
則
1
2c2
+
1
2c2
=1，c2=1，b2=1，a2=2，
所以橢圓方程E：
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）①設(shè)直線l：y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，消去y得，（1+2k2）x2+8kx+6=0，
由于直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，則△=8（2k2-3）＞0，即k2＞
3
2
，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
-8k
1+2k2
，x1x2=
6
1+2k2
，y1=kx1+2，y2=kx2+2，
又kOA+kOB=
y1
x1
+
y2
x2
=2（k+
x1+x2
x1x2
）=2（k-
8k
6
）=-
2
3
k=
4
3
，則k=-2．
經(jīng)檢驗(yàn)成立，所以直線l的斜率為-2；
②當(dāng)直線l的斜率不存在，直線l：x=0，
將x=0代入橢圓方程得，y=±1．則A（0，1），B（0，-1），
所以
MA
•
MB
=（0，-1）•（0，-3）=3．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（Ⅱ）①得，
MA
•
MB
=（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=
x1x2+k2x1x2=（k2+1）x1x2=
6(k2+1)
1+2k2
=3+
3
2
k2+
1
2

由于k2＞
3
2
，所以k2+
1
2
＞2，
所以3＜3+
3
2
k2+
1
2
＜
15
4
．
綜上，
MA
•
MB
的取值范圍是[3，
15
4
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量的數(shù)量積和斜率之和，解決問(wèn)題的方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩陣M有特征值λ1=8及對(duì)應(yīng)特征向量α1=
1
1
，且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個(gè)特征值．

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在△ABC中，已知a2-a=2（b+c），a+2b=2c-3．
（1）若sinC：sinA=4：
13
，求a、b、c；
（2）在（1）的條件下，求△ABC的最大角的弧度數(shù)．

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在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（B+C）=2sinB，b=
5
，c=3．
（1）求a的長(zhǎng)；
（2）求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-x-3在x=-1時(shí)取得極值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義非零向量
OM
=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
OM
=（a，b）稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，求證：h（x）∈S；
（2）求（1）中函數(shù)h（x）的“相伴向量”模的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)M（a，b）滿足條件：a=3且0＜b≤
3
，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x） 在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{
2n
an
}為等差數(shù)列，且a1=1，a2=
4
3
．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
n+1
(n+2)•2n
•an，求數(shù)列{
bn
n
}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某國(guó)慶紀(jì)念品，每件成本為30元，每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上繳a元（a為常數(shù)，4≤a≤6）的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)35≤x≤40時(shí)日銷售量與（
1
e
）x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成正比．當(dāng)40≤x≤50時(shí)日銷售量與x2成反比，已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10件．記該商品的日利潤(rùn)為L(zhǎng)（x）元．
（1）求L（x）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)x為多少元時(shí)，才能使L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=
2
，b=
5
，B=135°，則a=
 
，S△ABC=
 
．

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