Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，設(shè)∠BAF=θ，且θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$），則雙曲線C離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，2]
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出對(duì)應(yīng)的圖象，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．則四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e=$\frac{c}{a}$的表達(dá)式，求出即可．

解答 解：如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，∴AF⊥FB，∴四邊形AFBF′為矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
則|BF|=2csinθ，|AF|=2ccosθ．
∵|AF′|-|AF|=2a．
∴2csinθ-2ccosθ=2a．
即c（cosθ-sinθ）=-a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，
∵θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$），
∴θ-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{6}$），
則sin（θ-$\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{1}{2}$），
$\sqrt{2}$sin（θ$-\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則$\frac{1}{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$＞$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即e＞$\sqrt{2}$，
故雙曲線離心率的取值范圍是（$\sqrt{2}$，+∞），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)、兩角差的余弦公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．