Question

8．已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），如果點(diǎn)C在函數(shù)y=-3x²+2的圖象上，那么使得△ABC為直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)C（a，-3a²+2），分類討論，分別利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量數(shù)量積的公式，求得a的值的個(gè)數(shù)，可得點(diǎn)C的個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），如果點(diǎn)C在函數(shù)y=-3x²+2的圖象上，則設(shè)點(diǎn)C（a，-3a²+2），
∵△ABC為直角三角形，
①若A為直角頂點(diǎn)，則有AC⊥AB，此時(shí)，a=-1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-1）；
②若B為直角頂點(diǎn)，則有BC⊥AB，此時(shí)，a=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1）；
③若C為直角頂點(diǎn)，則有AC⊥BC，此時(shí)，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（-1-a，3a²-2）•（1-a，3a²-2）
=（-1-a）•（1-a）+（3a²-1）²=a²-1+9a⁴-12a²+4=9a⁴-11a²+3=0，
求得a²=$\frac{11+\sqrt{13}}{18}$，或a²=$\frac{11-\sqrt{13}}{8}$，故此時(shí)，a的不同的值共有4個(gè)，
此時(shí)，點(diǎn)C共有4個(gè)．
綜上可得，滿足條件的點(diǎn)C共有6個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量數(shù)量積的公式，屬于中檔題．