Question

14．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，在區(qū)間（0，2]內(nèi)任取兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)m．n，若不等式mf（m）+nf（n）＜nf（m）+mf（n）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，$\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，2]恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$，
若不等式mf（m）+nf（n）＜nf（m）+mf（n）在（0，2]恒成立，
則（m-n）[f（m）-f（n）]＜0在（0，2]恒成立，
故f（x）在（0，2]遞減，
故-x²+ax-1≤0在（0，2]恒成立，
故a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，2]恒成立，
而y=x+$\frac{1}{x}$≥2在（0，2]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取最小值2，
故a≤2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．