Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)a₁=1，且對于任意n∈N₊，都有na_n+1=2S_n
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}_{+3}}}$，且數(shù)列的前n項(xiàng)之和為T_n，求證：${T_n}＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過na_n+1=2S_n與（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2）作差、整理可得當(dāng)n≥2時(shí)$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法可知a_n=$\frac{n}{2}$•a₂（n≥3），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a_n=n、裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵na_n+1=2S_n，
∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），
兩式相減得：na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，
即當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{3}{2}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{n}{2}$•a₂（n≥3），
又∵a₂=2S₁=2a₁=2，
∴a_n=n（n≥3），
經(jīng)驗(yàn)證，此結(jié)果也滿足a₁，a₂，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（Ⅱ）證明：∵a_n=n，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}_{+3}}}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）＜\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）=\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．