Question

14．已知在等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線與△ABC的邊分別交于點M、N，則$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，設∠AOM=θ．由點O是正△ABC的中心，AC=3．可得AD═AC•sin60°，AO=$\frac{2}{3}$AD．在△AMO中，由正弦定理可得：OM=$\frac{AOsin\frac{π}{6}}{sin（\frac{5π}{6}-θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（\frac{π}{6}+θ）}$，同理在△ANO中，可得：ON=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（θ-\frac{π}{6}）}$．代入$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$即可得出．

解答 解：如圖所示，設∠AOM=θ．
∵點O是正△ABC的中心，AC=3．
∴AD═AC•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AO=$\frac{2}{3}$AD=$\sqrt{3}$．
在△AMO中，由正弦定理可得：$\frac{OM}{sin∠OAM}$=$\frac{AO}{sin（\frac{5π}{6}-θ）}$，
∴OM=$\frac{AOsin\frac{π}{6}}{sin（\frac{5π}{6}-θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（\frac{π}{6}+θ）}$，
同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（θ-\frac{π}{6}）}$．
∴$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{2sin（\frac{π}{6}+θ）}{\sqrt{3}}$+$\frac{2sin（θ-\frac{π}{6}）}{\sqrt{3}}$=$\frac{4sinθcos\frac{π}{6}}{\sqrt{3}}$=2sinθ．
∵$0≤θ≤\frac{2π}{3}$，由過O的直線交AB于M，交AC于N，
可得$\frac{π}{3}≤θ≤\frac{2π}{3}$，
因此當$θ=\frac{π}{2}$時，$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$取得最大值2．
故選：B．

點評 本題考查了正弦定理、正三角形的性質、和差公式、三角函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．