Question

16．如圖，△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，A為垂足．PC與底面成30°角，且AB=a，AC=2a．
（1）求點A到平面PBC的距離；
（2）求二面角A-PC-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥PC，垂足為E，連接BE，作AH⊥BE，垂足為H，證明AH⊥平面PBC，即可求點A到平面PBC的距離；
（2）由（1）知，∠BEA為二面角A-PC-B的平面角，即可求二面角A-PC-B的大�。�

解答 解：（1）過A作AE⊥PC，垂足為E，連接BE，作AH⊥BE，垂足為H，則
∵∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，BA?平面ABC，
∴BA⊥PA，
∵PA∩AC=A，
∴BA⊥平面PAC，
∵AE⊥PC，
∴BE⊥PC，
∵AE⊥PC，AE∩BE=E，
∴PC⊥平面ABE，
∴PC⊥AH，
∵AH⊥BE，PC∩BE=E，
∴AH⊥平面PBC
Rt△EAC中，∠ECA=30°，AC=2a，∴AE=a，
Rt△EAB中，AB=a，∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴點A到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
（2）由（1）知，∠BEA為二面角A-PC-B的平面角，且∠BEA=45°．

點評 本題考查二面角A-PC-B的平面角、點A到平面PBC的距離，考查學生分析解決問題的能力，證明AH⊥平面PBC
是關鍵．