Question

1．在平面直角坐標系中xOy中，動點E到定點（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等．
（Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設動直線l：y=kx+b與曲線C相切于點P，與直線x=-1相交于點Q．證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出動點E的坐標為（x，y），然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程為：y=kx+b（k≠0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程化為關于y的一元二次方程后由判別式等于0得到k與b的關系，求出Q的坐標，求出切點坐標，再設出M的坐標，然后由向量$\overrightarrow{MQ}，\overrightarrow{MP}$的數(shù)量積為0證得答案，并求得M的坐標．

解答 （Ⅰ）解：設動點E的坐標為（x，y），
由拋物線定義知，動點E的軌跡是以（1，0）為焦點，x=-1為準線的拋物線，
∴動點E的軌跡C的方程為：y²=4x；
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為：y=kx+b（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去x得：ky²-4y+4b=0．
∵直線l與拋物線相切，∴△=16-16kb=0，即$b=\frac{1}{k}$．
∴直線l的方程為y=kx+$\frac{1}{k}$．
令x=-1，得$y=-k+\frac{1}{k}$，
∴Q（-1，$-k+\frac{1}{k}$），
設切點坐標P（x₀，y₀），則$k{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}+\frac{4}{k}=0$，
解得：P（$\frac{1}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}$），
設M（m，0），
則$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{MP}=（\frac{1}{{k}^{2}}-m）（-1-m）+\frac{2}{k}（-k+\frac{1}{k}）$
=$-\frac{1}{{k}^{2}}+m-\frac{m}{{k}^{2}}+{m}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}-2$
=$（m-1）（\frac{1}{{k}^{2}}-m-2）$．
當m=1時，$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{MP}=0$．
∴以PQ為直徑的圓恒過x軸上定點M（1，0）．

點評 本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了利用向量證明線段的垂直問題，是中檔題．