Question

7．自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段．假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨(dú)立．這三條路段的堵車概率及平均堵車時(shí)間如表1所示．
經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車概率x在（$\frac{2}{3}$，1）上變化，y在（0，$\frac{1}{2}$）上變化．
在不堵車的情況下．走線路甲需汽油費(fèi)500元，走線路乙需汽油費(fèi)545元．而每堵車1小時(shí)，需多花汽油費(fèi)20元．路政局為了估計(jì)CD段平均堵車時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到表2數(shù)據(jù)．

堵車時(shí)間（單位：小時(shí)）	頻數(shù)
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24
（表2）

	CD段	EF段	GH段
堵車概率	x	y	$\frac{1}{4}$
平均堵車時(shí)間 （單位：小時(shí)）	a	2	1
（表1）

（1）求CD段平均堵車時(shí)間a的值．
（2）若只考慮所花汽油費(fèi)期望值的大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率．
（3）在（2）的條件下，某4名司機(jī)中走甲線路的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）用每一段的時(shí)間的平均值乘以對(duì)應(yīng)的概率，即為所求．
（2）先求出走線路甲所花汽油費(fèi)的期望Eξ，再求出走乙線路多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為Eη．擇走甲線路應(yīng)滿足E（545+η）-Eξ≥0，結(jié)合x、y的范圍，利用幾何概型求出選擇走甲線路的概率．
（4）用人數(shù)乘以選擇走甲線路的概率，即為所求．

解答 解：（1）$a=0.5×\frac{8}{100}+1.5×\frac{6}{100}+2.5×\frac{38}{100}+3.5×\frac{24}{100}+4.5×\frac{24}{100}=3$．
（2）設(shè)走線路甲所花汽油費(fèi)為ξ元，則Eξ=500（1-x）+（500+60）x=500+60x，
設(shè)走乙線路多花的汽油費(fèi)為η元，∵EF段、GH段堵車與否相互獨(dú)立，
∴$P（η=0）=（1-y）（1-\frac{1}{4}）$，$P（η=20）=（1-y）\frac{1}{4}$，
$P（η=40）=y（1-\frac{1}{4}）$，$P（η=60）=\frac{1}{4}y$，∴Eη=40y+5，
∴走乙線路所花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為E（545+η）=545+Eη=550+40y，
依題意選擇走甲線路應(yīng)滿足（550+40y）-（500+60x）≥0，
$6x-4y-5≤0，又\frac{2}{3}＜x＜1，0＜y＜\frac{1}{2}$，
選擇走甲線路的概率為圖中陰影部分的面積與整個(gè)矩形面積之比，
即矩形的面積減去小直角三角形的面積的差除以矩形面積，
∴P（走路甲）=$\frac{7}{8}$，
（3）二項(xiàng)分布EX=4×$\frac{7}{8}$=3.5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，幾何概型的應(yīng)用，屬于中檔題．