Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx，a≥2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈(0，+∞)，

x

1

≠x2，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

[x-(a-1)](x-1)

x

，得當a-1＞1時，即a＞2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，a-1）．當a-1=1時，即a=2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
（Ⅱ）要證：對任意x1，x2∈(0，+∞)，

x

1

≠x2，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．即證f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂設g(x)=f(x)+x=

1

2

x2-(a-1)x+(a-1)lnx，x＞0，即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．由g′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+(a-1)

x

，由g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，從而原題得證．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

[x-(a-1)](x-1)

x

，
∵a-1≥1
當a-1＞1時，即a＞2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（1，a-1）．
當a-1=1時，即a=2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
（Ⅱ）要證：對任意x1，x2∈(0，+∞)，

x

1

≠x2，
有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．
不防設x₁＞x₂，
即證f（x₁）-f（x₂）＞-（x₁-x₂）
即證f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂
設g(x)=f(x)+x=

1

2

x2-(a-1)x+(a-1)lnx，x＞0
即證當x₁＞x₂時，g（x₁）＞g（x₂）．
即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∵g′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+(a-1)

x

而△=（a-1）²-4（a-1）=（a-1）（a-5）
又∵2≤a＜5，
∴△＜0，
∴x²-（a-1）x+（a-1）＞0恒成立，
∴g′(x)=

x2-(a-1)x+(a-1)

x

＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∴原題得證．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，不等式的證明，是一道綜合題．