Question

7．已知S是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，SA=SB=SC，D為AB的中點(diǎn)，且SD與BC所成的角為45°，求SD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)E，連接DE，SE，則DE∥BC，可得∠SDE=45°，求出SD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，S在三角形ABC中的射影為三角形ABC的中心O，再求出SO，即可求出SD與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：取AC的中點(diǎn)E，連接DE，SE，則DE∥BC，
∵SD與BC所成的角為45°，
∴∠SDE=45°，
∵SD=SE，
∴DE=$\sqrt{2}$SD，
∴SD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
∵S是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，SA=SB=SC，
∴S在三角形ABC中的射影為三角形ABC的中心O，
∵OD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴SO=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，
∴SD與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{\frac{\sqrt{6}}{12}a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．