Question

18．等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$．則q的值為3，b_n=3^n-1．

Answer 1

分析 分別利用等差數列的求和公式及等比數列的通項公式表示已知條件，然后解方程可求等比數列的公比q，等差數列的公差d，即可求解．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，
∵等差數列{a_n}前n項和為S_n，數列{b_n}為正項的等比數列，
且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1•q+{a}_{1}+{a}_{2}=12}\\{q=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{1•q}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=12}\\{{q}^{2}=6+d}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{d=3}\end{array}\right.$，（負值舍去），
∴b_n=1•3^n-1=3^n-1；
故答案為：3，3^n-1．

點評 本題考查等差數列與等比數列的通項公式和前n項和公式，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．