Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

ax2

2

+（a-1）x-

3

2a

，其中a＞0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個相異的零點x₁，x₂，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)大于0求得x的范圍．
（Ⅱ）先根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性及函數(shù)的最大值，進而推斷出函數(shù)的最大值大于0即可出現(xiàn)兩個相異的零點，進而取得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(x-1)(a+1)

x

，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調增
當x＞1或x＜0時，f′（x）＜0，函數(shù)單調減，
x=1時，f′（x）=0，函數(shù)f（x）求得極值，
∴f（1）為函數(shù)f（x）的最大值，
∴要使函數(shù)f（x）有兩個相異的零點x₁，x₂，
需f（1）＞0，
即ln1-

a

2

+a-1-

3

2a

＞0，整理得

(a-3)(a+1)

2a

＞0，
求得a＞3或-1＜a＜0．

點評：本題主要考查了導函數(shù)的綜合運用．對導數(shù)公式要熟練記憶，通過導函數(shù)大于0和小于0判斷函數(shù)的單調性，是導函數(shù)常用方法．