Question

如圖所示，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD為等邊三角形，F(xiàn)為ED邊上的中點，且CD=BD=2AC=2，
（1）求證：CF∥面ABE； 
（2）求證：面ABE⊥平面BDE；
（3）求該幾何體ABECD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,組合幾何體的面積、體積問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BE的中點G，連結(jié)FG，推導(dǎo)出CF∥AG，由此能證明CF∥面ABE．
（2）由△ECD為等邊三角形，推導(dǎo)出AG⊥面BDE，由此能證明面ABE⊥平面BDE．
（3）幾何體ABECD是四棱錐E-ABCD，由此能求出該幾何體ABECD的體積．

解答： 解：（1）取BE的中點G，
連FG，∵FG∥

1

2

BD，AC∥

1

2

BD，
∴CF∥AG，
又CF不包含于面ABE，AG?面ABE，
∴CF∥面ABE，…（4分）
（2）∵△ECD為等邊三角形，
∴CF⊥ED又CF⊥BD，
∴CF⊥面BDE，CF∥AG
∴AG⊥面BDE，
又AG?平面ABE，∴面ABE⊥平面BDE，…（8分）
（3）幾何體ABECD是四棱錐E-ABCD，EH⊥CD
∴EH⊥面ABCD，
∴VE-ABCD=

1

3

•

1

2

(1+2)•2•

3

=

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查幾何體體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．