【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),

移項后兩邊平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1,

即有橢圓C1 +y2=1;

曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2 ,

即有ρ( sinθ+ cosθ)=2

由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,

即有C2的直角坐標(biāo)方程為直線x+y﹣4=0


(2)

解:由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時,

|PQ|取得最值.

設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,

聯(lián)立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,

由直線與橢圓相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,

解得t=±2,

顯然t=﹣2時,|PQ|取得最小值,

即有|PQ|= = ,

此時4x2﹣12x+9=0,解得x= ,

即為P( ,


【解析】(1)運用兩邊平方和同角的平方關(guān)系,即可得到C1的普通方程,運用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及兩角和的正弦公式,化簡可得C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時,|PQ|取得最值.設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,代入橢圓方程,運用判別式為0,求得t,再由平行線的距離公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐標(biāo).
本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,同時考查直線與橢圓的位置關(guān)系,主要是相切,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,且,其中,,分別是,,的中點,動點在線段上運動時,下列四個結(jié)論:①;;,

其中恒成立的為(

A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,這個最小值為 (米).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面,且底面ABCD是邊長為2的正方形,M、N分別為PB、PC的中點.

1證明:MN//平面PAD;

2若PA與平面ABCD所成的角為,求四棱錐P-ABCD的體積V.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1 , l2分別交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點.
(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】13分)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2,a3=a2+4

)求{an}的通項公式;

)設(shè){bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓C:x2+y2=4,點P為直線x+2y﹣9=0上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA、PB,A、B為切點,則直線AB經(jīng)過定點(
A.
B.
C.(2,0)
D.(9,0)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=+ax,aR,

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證:≥x;

(3)求證:當(dāng)a≥-2時,x[1,+ ∞),f(x)+lnx≥a+1恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形,DC=4,O為BD的中點,E為PA的中點.
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求證:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求面PAD與面PBC所成角的大。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案