【題目】已知函數(shù)f(x)=+ax,aR,

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證:≥x;

(3)求證:當a≥-2時,x[1,+ ∞),f(x)+lnx≥a+1恒成立.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析

【解析】試題分析:(1)由題意,求得,根據(jù),分類討論,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)令,由(1)可知,函數(shù)的最小值為,即可證明不等式;

(3)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式,設(shè)出函數(shù),利用導數(shù)求解函數(shù)的最小值,即可作出證明

試題解析:

(1)解:fˊ(x) = +a.

(i)當a≥0時, fˊ(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;

(ii)當 a<0 時,令fˊ(x) =0,則ln(-a)+1,

當fˊ(x)>0,即x>ln( -a) + 1時,函數(shù)f (x)單調(diào)遞增;

當fˊ(x)<0,即x<ln( -a) + 1時,函數(shù)f (x)單調(diào)遞減.

綜上,當a≥0時,函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞增;當a<0時,函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln(-a)+1,+∞), 單調(diào)遞減區(qū)間是(一∞,ln(-a)十1).

(2)證明:令 a= — 1,由(1)可知,函數(shù)/(x) =—x 的最小值為f (1)=0,

—x≥0, 即≥x

(3)證明:f (x)十ln ≥a+1 恒成立與f (x)十ln x-a-1≥0 f恒成立等價.

令 g(x)=f(x)+lnx-a-1,g(x)=+ a(x—1)+ lnx-1,則gˊ(x) =++a.

當a≥—2時,gˊ(x) = 十a(chǎn)≥x十十a(chǎn)≥+a = a十2≥0,(或令φ(x) = ,則φˊx) = 在[1,十∞)上遞增,∴φˊ (x)在[1,十∞)上遞增,∴φ(x) ≥φ(1) = 2,

∴gˊ(x) ≥0).

∴g(x)在區(qū)間[1,十∞)上單調(diào)遞增,

∴g(x) ≥g(1)=0,

∴ f(x)十ln x≥a+1 恒成立

練習冊系列答案
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