Question

設(shè)關(guān)于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集為A，且A∩[-1，1]≠∅，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：關(guān)于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集為A，且A∩[-1，1]≠∅，等價于二次函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個數(shù)c 使得f（c）＞0，其否定是：對于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0，可得

f(1)≤0 f(-1)≤0

，由此可求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：關(guān)于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集為A，且A∩[-1，1]≠∅，
等價于二次函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個數(shù)c 使得f（c）＞0，
其否定是：對于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0，
∴

f(1)≤0 f(-1)≤0

即

4-2(p-2)-2p2-p+1≤0 4+2(p-2)-2p2-p+1≤0

整理得

2p2+3p-9≥0 2p2-p-1≥0

解得p≥

3

2

，或p≤-3，
∴二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個實(shí)數(shù)c，使f（c）＞0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-3，

3

2

），
∴所求實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-3，

3

2

）．
故答案為：（-3，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是一元二次不等式的應(yīng)用，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象是開口方向朝上的拋物線，得到對于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0時，

f(1)≤0 f(-1)≤0

是解答本題的關(guān)鍵．