Question

12．某校高三文科500名學生參加了3月份的高考模擬考試，學校為了了解高三文科學生的歷史、地理學習情況，從500名學生中抽取100名學生的成績進行統(tǒng)計分析，抽出的100名學生的地理、歷史成績如表：

歷史      地理	[80，100]	[60，80）	[40，60）
[80，100]	8	m	9
[60，80）	9	n	9
[40，60）	8	15	7

（Ⅰ） 若歷史成績在[80，100]區(qū)間的占30%，
（i）求m，n的值；
（ii）估計歷史和地理的平均成績及方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），并估計哪個學科成績更穩(wěn)定；
（Ⅱ）在地理成績在[60，80）區(qū)間的學生中，已知m≥10，n≥10，求事件“|m-n|≤5”的概率．

Answer 1

分析 （I）（i）由歷史成績在[80，100]區(qū)間的占30%，能求出m，進而能求出n．
（ii）由已知分別求出地理和歷史的平均成績及方差，從而得到地理學科的成績更穩(wěn)定．
（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，利用列舉法能求出事件“|m-n|≤5”的概率．

解答 解：（I）（i）∵由歷史成績在[80，100]區(qū)間的占30%，
∴$\frac{8+m+9}{100}=0.3$，解得m=13，
∴n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22．（2分）
（ii）由（i）可得

	[80，100]	[60，80）	[40，60）
地理	25	50	25
歷史	30	40	30

${\overline x_{地理}}=\frac{90×25+70×50+50×25}{100}=70，S_{地理}^2=\frac{1}{100}[{25×（90-70{）^2}+50×（70-70{）^2}+25×（50-70{）^2}}]=200…（4分）$${\overline x_{歷史}}=\frac{90×30+70×40+50×30}{100}=70，S_{歷史}^2=\frac{1}{100}[{30×（90-70{）^2}+40×（70-70{）^2}+30×（50-70{）^2}}]=240…（6分）$
從以上計算數(shù)據(jù)來看，地理學科的成績更穩(wěn)定．（7分）
（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，所以滿足條件的（m，n）有：
（10，25）、（11，24）、（12，23）、（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）、（25，10）共16中，且每組出現(xiàn)都是等可能的．（9分）
記：“|m-n|≤5”為事件A，則事件A包含的基本事件有：
（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、（19，16）、（20，15）共6種．（11分）
所以$P（A）=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$（12分）

點評 本題考查頻率分布列的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．