Question

15．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a的最大值為3．
（Ⅰ）求f（x）的對(duì)稱軸方程和a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1+a$，解$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，即可求得對(duì)稱軸，由已知最值3，即2+1+a=3，可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得函數(shù)解析式，解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，即可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinxsin（{\frac{π}{2}-x}）+2{cos^2}x+a$
=$2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x+a$，…（1分）
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1+a$，…（2分）
=$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1+a$．…（3分）
令$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，…（5分）
∴f（x）的對(duì)稱軸方程是$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$．
由f（x）的最大值為3得2+1+a=3，即a=0．                    …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，…（10分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈Z）$．           …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性及最值問(wèn)題，屬中檔題．