Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)（-3，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為l的直線被橢圓C所截線段得中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求出直線的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可得到所求中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=3，
可得a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由點(diǎn)（3，0）滿足$\frac{9}{12}$+$\frac{0}{3}$＜1，即（3，0）在橢圓內(nèi)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為l的直線為y=x-3，
代入橢圓方程，可得5x²-24x+24=0，
顯然△=24²-4×5×24＞0，
設(shè)所截線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{24}{5}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得所截線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{12}{5}$，縱坐標(biāo)為$\frac{12}{5}$-3=-$\frac{3}{5}$．
即有被橢圓C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{12}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．