Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：PQ⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P-QB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明PQ⊥底面ABCD即可證明PQ⊥AB；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角P-QB-M的余弦值．

解答 （I）證明：在△PAD中，PA=PD，
∵Q為AD中點．∴PQ⊥AD                             
∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
又AB?平面ABCD，
∴PQ⊥AB；
（II）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，
∵Q為AD中點，BC=QD，BC⊥QD
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，
∵AD⊥DC      
∴AD⊥QB，
由（I）可知PQ⊥平面ABCD，
∴，以Q為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，Q-xyz如圖．
則Q（0，0，0），A（1，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}，0）$，C（-1，$\sqrt{3}$，0）D（-1，0，0）
∵M是PC中點，∴$M（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
又$\overrightarrow{QB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
設(shè)平面MBQ的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1得x=$\sqrt{3}$，y=0，
則$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{QA}$，$\overrightarrow{m}$＞$\frac{\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{QA}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由題知，二面角P-QB-M為銳角所以二面角P-QB-M的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用以及二面角的計算，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的平面角的常用方法，綜合性較強，運算較大，有一定的難度．