Question

19．已知φ（x）=x（x-m）²在x=1處取得極小值，且函數(shù)f（x），g（x）滿足f（5）=2，f′（5）=3m，g（5）=4，g′（5）=m，則函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）+2}{g（x）}$的圖象在x=5處的切線方程為（　�。�

• A． 3x-2y-13=0
• B． 3x-2y-13=0或x-2y-3=0
• C． x-2y-3=0
• D． x-2y-3=0或2x+3y-13=0

Answer 1

分析 求導(dǎo)φ′（x）=（x-m）²+2x（x-m）=（3x-m）（x-m），從而可得m=1，代入可得F（5）=$\frac{f（5）+2}{g（5）}$=1，F(xiàn)′（5）=$\frac{f′（5）g（5）-（f（5）+2）g′（5）}{{g}^{2}（5）}$=$\frac{3×4-（2+2）×1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；從而求切線方程即可．

解答 解：∵φ′（x）=（x-m）²+2x（x-m）=（3x-m）（x-m），
又∵φ（x）=x（x-m）²在x=1處取得極小值，
∴m=1，（m=3時(shí)x=1處取得極大值）；
故f′（5）=3，g′（5）=1，
故F（5）=$\frac{f（5）+2}{g（5）}$=1，
F′（5）=$\frac{f′（5）g（5）-（f（5）+2）g′（5）}{{g}^{2}（5）}$
=$\frac{3×4-（2+2）×1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
故函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）+2}{g（x）}$的圖象在x=5處的切線方程為
y-1=$\frac{1}{2}$（x-5），
即x-2y-3=0；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．