Question

8．已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（x）+xf′（x）=$\frac{lnx}{x}$，f（e）=$\frac{1}{e}$則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x）有極大值無(wú)極小值
• B． f（x）有極小值無(wú)極大值
• C． f（x）既有極大值又有極小值
• D． f（x）沒(méi)有極值

Answer 1

分析 由題意可得xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c；再由f（e）=$\frac{1}{e}$可得c=$\frac{1}{2}$，從而可得f（x）=$\frac{1}{2}$•（（lnx）²+1）$\frac{1}{x}$；從而再求導(dǎo)判斷即可．

解答 解：∵f（x）+xf′（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c；
又∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴e•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2}$（lne）²+c；
故c=$\frac{1}{2}$；
故f（x）=$\frac{1}{2}$•（（lnx）²+1）$\frac{1}{x}$；
f′（x）=$\frac{\frac{2lnx}{x}•2x-（（lnx）^{2}+1）•2}{4{x}^{2}}$
=$\frac{-2（lnx-1）^{2}}{4{x}^{2}}$≤0；
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
故f（x）沒(méi)有極值；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與積分的運(yùn)算，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．