Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，E為線段BC上一點(diǎn)，連接AC，連接AE，分別交⊙O于D，G兩點(diǎn)，連接DG交CB于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：C，D，E，G四點(diǎn)共圓．；
（Ⅱ）若F為EB的三等分點(diǎn)且靠近E，GA=3GE，求證：CE=EB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，由題設(shè)條件結(jié)合圓的性質(zhì)能求出∠C=∠AGD，從而得到∠C+∠DGE=180°，由此能證明C，E，G，D四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）設(shè)BG=x，GA=3x，由切割線定理推導(dǎo)出EB=2，再求出CE的長，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，則∠AGD=∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°
∴∠C=∠AGD，
∴∠C+∠DGE=180°，
∴C，E，G，D四點(diǎn)共圓．…..（5分）
（Ⅱ）解：設(shè)GE=x，GA=3x，
由切割線定理EG•EA=EB²，則EB=2x，
又F為EB三等分，所以EF=$\frac{2x}{3}$，F(xiàn)B=$\frac{4x}{3}$，
又FE•FC=FG•FD，F(xiàn)G•FD=FB²，
∴FC=$\frac{8x}{3}$，CE=2x，即CE=EB．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．