Question

18．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦點作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線l，則直線l與雙曲線C的交點情況是直線和雙曲線有兩個交點，且為左右兩支各一個．

Answer 1

分析 求出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運用判別式和韋達定理，即可得到．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{13}$，
左焦點為（-$\sqrt{13}$，0），
過左焦點作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\sqrt{13}$），
代入雙曲線方程，可得23x²-8$\sqrt{13}$x-160=0，
則判別式△=64×13+4×23×160＞0，
x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{13}}{23}$，x₁x₂=-$\frac{160}{23}$，
則直線和雙曲線有兩個交點，且為左右兩支各一個，
故答案為：直線和雙曲線有兩個交點，且為左右兩支各一個．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關系，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和判別式，考查運算能力，屬于基礎題．