Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}={f^'}（\frac{1}{a_n}）$，且a₁=4，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記b_n=$\sqrt{{a_n}{a_{n+1}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：$\frac{4}{3}≤{T_n}$＜2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件可得b=2n，代入點(diǎn)，即可計(jì)算得到a，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由條件可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n，再由累加法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求得b_n，再由裂項(xiàng)相消求和，求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，再由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ax²+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+b，
即有b=2n，又16n²a-4nb=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=2n，
則f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2nx（n∈N^*）．
（2）由條件可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）
=$\frac{1}{4}$+2+4+…+2（n-1）=$\frac{1}{4}$+n（n-1）=（n-$\frac{1}{2}$）²，
即有a_n=$\frac{4}{（2n-1）^{2}}$；
（3）證明：b_n=$\sqrt{{a_n}{a_{n+1}}}$=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜2，
由2n+1≥3，則2（1-$\frac{1}{2n+1}$）≥$\frac{4}{3}$，
故$\frac{4}{3}≤{T_n}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，主要考查等差數(shù)列的求和和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和方法，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的求法和不等式的證明，屬于中檔題．