Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)求得原函數(shù)的單調(diào)期間；
（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，然后分a≤0，0＜a≤1，1＜a＜e，a≥e四種情況討論原函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，并求得最小值，由最小值等于2求得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=lnx+\frac{2}{x}$，${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{x-2}{{x}^{2}}$．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的減區(qū)間為（0，2）；增區(qū)間為（2，+∞）；
（2）由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
若a≤0，則f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（1）=a，則a=2，不合題意；
若a＞0，則當(dāng)0＜a≤1時(shí)，在[1，e]上，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（1）=a，則a=2，不合題意；
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，在（a，e）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（a）=lna+1，由lna+1=2，解得：a=e，不合題意；
當(dāng)a≥e時(shí)，在[1，e]上，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
$f（x）_{min}=f（e）=1+\frac{a}{e}$，由$1+\frac{a}{e}=2$，解得a=e．
綜上，a=e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，著重考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中高檔題．