精英家教網(wǎng)如圖,F(xiàn)為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn).P為雙曲線C右支上一點(diǎn),且位于x軸上方,M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知四邊形OFPM為平行四邊形,|PF|=λ|OF|.
(Ⅰ)寫(xiě)出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)λ=1時(shí),設(shè)雙曲線右支與x軸的交點(diǎn)為R,且|PR|=2,求此時(shí)的雙曲線方程.
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,四邊形OFPM是平行四邊形,分析可得|OF|=|PM|=c,作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H,由雙曲線的性質(zhì)可得|PM|=|PH|+2
a2
c
,又由e=
|PF|
|PH|
,代入化簡(jiǎn)可得答案;
(Ⅱ)分析可得,當(dāng)λ=1時(shí),四邊形OFPM是菱形,則e=2,即c=2a,可得|OF|=|PF|=2a,可求得點(diǎn)p的橫坐標(biāo),作PQ⊥x軸,垂足為Q,則點(diǎn)Q為線段RF的中點(diǎn),進(jìn)而可得△PQF為等腰三角形,則|PR|=2a=2,即可得a、b的值,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)∵四邊形OFPM是平行四邊形,
∴|OF|=|PM|=c,
作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H,
|PM|=|PH|+2
a2
c
,
e=
|PF|
|PH|
=
λ|OF|
c-2
a2
c
=
λc
c-2
a2
c
=
λc2
c2-2a2
=
λe2
e2-2

e2-λe-2=0
(Ⅱ)當(dāng)λ=1時(shí),四邊形OFPM是菱形
e=2,c=2a,即|OF|=|PF|=2a,2a=exP-a(或2a=xP+
a2
c

可求得點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為eP=
3
2
a

作PQ⊥x軸,垂足為Q,則點(diǎn)Q為線段RF的中點(diǎn),
所以△PQF為等腰三角形,
所以|PR|=2a=2,即a=1,b=
3

雙曲線方程為:x2-
y2
3
=1
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用,此類題目一般計(jì)算量較大,解本題時(shí),注意把握平行四邊形與菱形的性質(zhì),尋找突破點(diǎn),同時(shí)可以減小運(yùn)算量.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,F(xiàn)為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn).P為雙曲線C右支上一點(diǎn),且位于x軸上方,M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知四邊形OFPM為平行四邊形,|PF|=λ|OF|.
(Ⅰ)寫(xiě)出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)λ=1時(shí),經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn),若|AB|=12,求此時(shí)的雙曲線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,F(xiàn)為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦點(diǎn),P為雙曲線C右支上一點(diǎn),且位于x軸上方,M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知四邊形OFPM為平行四形,|
PF
|=λ|
OF
|
.寫(xiě)出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖點(diǎn)F為雙曲線C的左焦點(diǎn),左準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是l上的一點(diǎn)|PQ|=|FQ|=1,且線段PF的中點(diǎn)M在雙曲線C的左支上.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)F的直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn),設(shè)
FB
FA
,當(dāng)λ∈[6,+∞)時(shí),求直線m的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(06年安徽卷)(14分)

如圖,F(xiàn)為雙曲線C:的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn),且位于軸上方,M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形,。

(Ⅰ)寫(xiě)出雙曲線C的離心率的關(guān)系式;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn),若,求此時(shí)的雙曲線方程。

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