Question

已知f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，若x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，可得x∈[

1

2

，1]時(shí)，|1+xlog₂a|≤2-x，化為

x-3

x

≤log2a≤

1-x

x

，x∈[

1

2

，1]．再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，
∴x∈[

1

2

，1]時(shí)，|1+xlog₂a|≤2-x，
∴x-2≤1+xlog₂a≤2-x，x∈[

1

2

，1]．
∴

x-3

x

≤log2a≤

1-x

x

，x∈[

1

2

，1]．
∴-2≤log₂a≤0，
解得

1

4

≤a≤1．
故答案為：[

1

4

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題．